REFERENSI LAIN

Resume Tendensi Sentral (Mean, Median, Modus, dan Standar Deviasi)

TENDENSI SENTRAL

Jika dilakukan penelitian terhadap motivasi, pada umumnya dapat diketahui bahwa sebagian besar dari orang yang diteliti mempunyai motivasi yang “normal”. Kemudian jika diambil angka 100 sebagai indeks (ukuran) normalitas, maka sebagian besar orang yang kita selidiki akan mempunyai angka motivasi di sekitar 100. Hanya sebagian kecil saja dari mereka yang angka motivasinya menyimpang jauh dari indeks normalitas itu.

Salah satu tugas dari statistika adalah mencari suatu angka di sekitar mana nilai-nilai dalam suatu distribusi memusat. Angka yang menjadi pusat suatu distribusi disebut “tendensi sentral”. Ada tiga macam tendensi sentral yang sangat penting untuk dibahas, yakni: Mean, Median, dan Mode. Ketiganya mempunyai cara-cara menghitung yang berbeda-beda, dan mempunyai arti yang berbeda pula sebagai alat untuk mengadakan deskripsi suatu distribusi.

1.      RATA – RATA ( MEAN)

Adalah suatu nilai rata-rata dari semua nilai data observasi. Nilai rata-rata data observasi di beri simbul u (miyu)

Ada2 macam Mean :

a.       Rata – rata data observasi tidak berkelompok

Merupakan nilai yang diperoleh dari penjumlahan semua data observasi dibagi dengan banyaknya data.

Contoh :

Berikut ini adalah skor tes prestasi 10 tenaga sales PT. Probo :

70        56        66        94        48        82        80        70        76        50

Rata – rata skor tes tersebut adalah :

N = 10

b.      Rata – rata data observasi berkelompok

Merupakan jumlah hasil kali antara frekuensi dengan nilai tengah semua kelas jumlah frekuensi.

 

Contoh :

Berikut ini data observasi mengenai laba setiap hari yang diperoleh PT Probo selama 30 hari pada bulan april 2006

 

Rata-rata laba setiap hari :

2.      MEDIAN

Adalah nilai data observasi yang berada di tengah-tengah urutan data tersebut, atau data observasi yang membagi data observasi yang sudah diurutkan menjadi 2 bagian yang sama banyak.

Nilai median data observasi diberi symbol Md

Ada 2 macam Median :

a.       Median data observasi tidak berkelompok, dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

o   Urutkan data observasi dari kecil ke yang besar

o   Tentukan letak median dengan rumus

   

o   Tentukan nilai median

Contoh :

Data Ganjil

Berikut ini adalah skor tes prestasi 9 karyawan PT. Probo :

78        56        66        94        48        82        80        70        76

Median skor tes 9 karyawan tersebut ditentukan dengan cara :

No urut	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Nilai	48	56	66	70	76	78	80	82	94

Letak Median : 9 + 1

                       2

                        : 5

jadi letak median pada urutan data ke 5

 Data Genap

            Berikut ini adalah skor tes prestasi 10 karyawan PT probo

            78        56        66        94        48        82        80        70        76        96

            Median skor tes 10 karyawan tersebut ditentukan dengan 2 cara :

No urut	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nilai	48	56	6	70	76	78	80	82	94	96

Letak median : 10 + 1

                         2

                        : 5.5

Jadi letak median pada urutan data 5.5 atau terletak di antara no urut 5 dan 6 kemudian di bagi 2

Median (Md) = 76 + 78  = 77

                          2

b.      Median data observasi berkelompok, dapat ditentukan dengan langkah-langkah :

o   Tentukan kelas median dengan rumus

Kelas Median : N

                    2                         

o   Tentukan median dengan rumus

Contoh berikut ini data mengenai laba PT Probo bulan April 2006

         Langkah untuk menentukan median :

o   Letak median =                        

Jadi kelas median adalah kelas yang ditempati oleh frekuensi kumulatif 15

   Frekuensi kumulatif berada di kelas no 3

o   Menentukan Median dengan rumus

      

3.      MODUS (Mo)

a.       Merupakan suatu nilai yang paling sering muncul (nilai dengan frekuensi muncul terbesar)

b.      Jika data memiliki dua modus, disebut bimodal

c.       Jika data memiliki modus lebih dari 2, disebut multimodal

Ada2 macam modus :

a.       Modus data observasi tidak berkelompok

Contoh :

o   Berikut ini skor tes prestasi PT Probo :

70  56        66        70        48        82        80        70        76        70

frekuensi terbesar adalah 70 yaitu ada 3 orang

jadi modus skor prestasi karyawan PT. Probo : 70

o   Berikut adalah data sampel tentang nilai sewa bulanan untuk satu kamar apartemen ($). Berikut adalah data yang berasal dari 70 apartemen di suatu kota tertentu:

 

  Rata-rata Hitung (Mean)

 

  Median

Karena banyaknya data genap (70), maka median merupakan rata-rata nilai ke-35 dan ke-36, yaitu

      (475 + 475)/2 = 475

  Modus = 450 (muncul sebanyak 7 kali)

b.      Modus data observasi berkelopok, dapat ditentukan sebagai berikut :

o   Tentukan kelas modus yaitu yang mempunyai frekuensi terbesar.

o   Tentukan modus dengan rumus.

     

Contoh :Berikut ini data mengenai laba PT. Probo bulan April 2006

Dari contoh Bengkel Hudson Auto

DATA BERKELOMPOK (L)

Rata-rata Hitung (Mean)

–        Kelebihan:

   Melibatkan seluruh observasi

  Tidak peka dengan adanya penambahan data

  Contoh dari data :      

                     34          5          9          11                                Rata-rata = 6,4

                     34          5          9          10        11                    Rata-rata = 7

–        Kekurangan:

   Sangat peka dengan adanya nilai ekstrim (outlier)

  Contoh: Dari 2 kelompok data berikut

                     Kel. I      :           3          4          5          9          11                    Rata-rata = 6,4

                     Kel. II    :           3          4          5          9          30                    Rata-rata = 10,2

nMedian

–        Kelebihan:

  Tidak peka terhadap adanya nilai ekstrim

  Contoh: Dari 2 kelompok data berikut

                     Kel. I      :           3          4          5          13        14

                     Kel. II    :           3          4          5          13        30

                     Median I = Median II = 5         

–        Kekurangan:

  Sangat peka dengan adanya penambahan data (sangat dipengaruhi oleh banyaknya data)

  Contoh: Jika ada satu observasi baru masuk ke dalam kelompok I, maka median = 9

 Modus

–        Kelebihan:

  Tidak peka terhadap adanya nilai ekstrim

  Contoh: Dari 2 kelompok data berikut

                     Kel. I      :           3          3          4          7          8          9

                     Kel. II    :           3          3          4          7          8          35

                     Modus I = Modus II = 3

–        Kekurangan:

  Peka terhadap penambahan jumlah data

  Contoh: Pada data     

                        3          3          4          7          8          9                                  Modus = 3

                        3          3          4          7          7          7          8          9          Modus = 7

Hubungan antara Mean, Median, dan Modus

Mean, median, dan modus dapat digunakan untuk mengetahui kemiringan kurva poligon distribusi frekuensi data observasi.

 Standar Deviasi (Simpangan Baku)

Simpangan baku adalah suatu nilai yang menunjukan tingkat (derajat) variasi kelompok atau ukuran standar penyimpangan dari reratanya. Simbol simpangan baku populasi (σ atau σn) sedangkan untuk sampel (s, sd atau σn-₁)

a.         Simpangan Baku Data Tunggal

 

Data nilai ujian Teknik Pondasi mahasiswa Reguler Semester 4

 

b.     Simpangan Baku Data Berkelompok

 

 

 

SUMBER:

1.  http://www.slideshare.net/agphin/mean-median-modus-dan-simpangan-baku

2.  http://www.scribd.com/doc/53139222/14/Pengukuran-Tendensi-Sentral

3.  agusdwiatmoko.files.wordpress.com/2009/04/tengah-semester1.doc

4. http://p4tkmatematika.org/downloads/sd/Statistik.pdf

5. dapat juga dilihat disini

BAB III UKURAN TENDENSI SENTRAL

UKURAN TENDENSI SENTRAL (CENTRAL TENDENCY MEASUREMENT)

   Beberapa macam ukuran statistik digunakan untuk meringkaskan dan menjelaskan data. Sebagai suatu ukuran, statistik itu mendefinisikan, dalam pengertian tertentu, pusat segugus data dan oleh karena itu disebut ukuran lokasi pusat atau ukuran kecenderungan memusat atau ukuran pemusatan. Yang lain mengukur keragaman. Secara bersama, kedua ukuran statistik itu sangat berguna dalam menjelaskan sebaran pengamatan yang menyusun data kita.(Ronald E. Walpole).

   Sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau sebaliknya dari terbesar sampai terkecil, disebut Ukuran Lokasi Pusat atau Ukuran Pemusatan.

Ukuran pemusatan yang paling banyak digunakan adalah Mean, Median, dan Modus.

1)      Mean (Nilai rata-rata)

   Adalah merupakan salah satu ukuran untuk memberikan gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang sekumpulan data, dimana nilai rata-rata dibagi menjadi 4 yaitu:

a)      Nilai Rata-rata Hitung

   Adalah Nilai rata-rata yang banyak digunakan untuk membandingkan nilai dari suatu kelompok data dengan kelompok data yang lain. Nilai rata-rata hitung di bagi 2 yaitu:

• Nilai Rata-rata Hitung Data Tunggal

                Jika terdapat  n buah data yang terdiri dari

                 x₁, x₂, x₃, … x_n,

                 Rata-rata hitung data tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut.

                

                  Ket:

                  n = banyak data

                  Σxi = jumlah data (jumlah data ke-1 sampai dengan data  ke-n)

                  Contoh 1 :

                  Nilai ulangan matematika 5 siswa kelas X Akuntansi adalah 8, 5, 7, 10, dan 5. Rata-rata hitung nilai siswa tersebut adalah ….

                 

                  = 35/5 = 7

                  

Contoh 2:

                  Diketahui:

                 

                  

                    = 740/10 = 74

• Nilai Rata-rata Hitung Data Kelompok

Menentukan rata-rata hitung data berkelompok akan lebih mudah apabila data disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi.

Rata-rata hitung data tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut:

                                                

                   

                   Ket:

                   x_i  = Titik tengah

                      = ½ . (batas bawah + batas atas)

                   c_i  = Kode titik tengah

                   I   = Interval kelas = Panjang kelas

                        

                   x₀ = Titik tengah pada frekuensi terbesar

                   

Contoh 1:

                   Diketahui:

                  

                   

Contoh 2:

                   Diketahui:

                  

                    

Contoh 3:

                   Diketahui:

                  

                   Jawab :

                  

b)      Nilai Rata-Rata Ukur

   Adalah Nilai rata-rata untuk nilai yang memiliki kisaran yang besar. Dalam masalah bisnis dan ekonomi seringkali diperlukan data untuk mengetahui rata-rata persentasi tingkat perubahan sepanjang waktu.

Rata-rata hitung data tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut.

• Rata-rata Ukur Data Tunggal

             

Contoh 1:

             Hitunglah rata-rata ukur dari data berikut ini :

             10 ; 15 ; 16 ; 25

             Jawab:

            

             Atau

            

            

            U = 15,6508

           

Contoh 2:

   Wilayah Metropolitan diharapkan akan memperlihatkan laju kenaikan jumlah lapangan kerja yang tinggi antara tahun 2001 dan 2002. Jumlah lapangan kerja diharapkan meningkat dari 5.164.900 jiwa menjadi 6.286.800 jiwa berapa rata-rata ukur laju pertumbuhan kenaikkan tahunan yang diharapkan?

             Jawab:

            

           Diketahui : X₁ = 5.164.900, X₂ = 6.286.800, n = 2

              Log U = ½ (Log X₁ +Log X₂)

               = ½ (Log 5164900 + Log 6286800)

               = ½ (6.713 + 6.798)

               = 6.7555

               U = Antilog 6.7555 = 5695082.2

• Rata-rata Ukur Data Kelompok

              

Contoh:

              Diketahui:

             

               

Jawab:

              

               

              

                U = 1,0404

               Atau

              

              U = 1,0372

c)      Nilai Rata-Rata Harmonis

   Adalah Nilai yang diperoleh dengan jalan membagi (n) dengan jumlah kebalikan dari masing-masing (X). Dipergunakan untuk nilai yang harganya setiap saat selalu berubah & ditujukan pada data yang tidak dikelompokkan.

Rata-rata hitung data tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut.

     Atau

    

Contoh 1:

Jarak kota S ke kota M = 90 km. Seseorang dengan kendaraan berangkat dari kota S ke kota M dengan kecepatan 45 km/jam, kemudian kembali dari M ke S dengan kecepatan 60 km/jam. Hitunglah kecepatan rata-rata kendaraan orang tersebut.

Jawab:

Rata-rata Harmonis (H)

 

Berangkat = [90 km]/[45 km/jam] = 2 jam

Kembali = [90 km]/[60 km/jam] = 1,5 jam

Jadi, totalnya 3,5 jam

Contoh 2:

Seorang Pedagang Kaos di Bandung memperoleh hasil penjualan Rp 2.000.000/Minggu dengan rincian sebagai berikut :

Minggu 1 : Terjual 100 Kaos seharga Rp. 20.000/Kaos

Minggu 2 : Terjual  80 Kaos seharga Rp. 25.000/Kaos

Minggu 3 : Terjual 40 Kaos seharga Rp. 50.000/Kaos

Minggu 4 : Terjual 50 Kaos Seharga Rp. 40.000/Kaos

Berapakah Harga rata-rata kaos tersebut per-Kaosnya?

Jawab:

 

Jadi, rata-rata harmonis harga per kaos = Rp.29629.63

d)     Nilai Rata-Rata Tertimbang

   Banyak digunakan dalam dunia pendidikan dan suatu persoalan, masing-masing nilai mempunyai bobot atau timbangan tertentu.

Misalnya X₁ dengan timbangan W₁, X₂ dengan timbangan  W₂ dan seterusnya sampai X_n, dengan timbangan W_n.

 

Contoh:

   Seorang Mahasiswa dari jurusan Managemen U-Binus, Mengikuti ujian untuk mata kuliah Ekonomi Mikro(4sks), Metode Kuantitatif Bisnis (4sks), Statistik Ekonomi I (2sks), Ekonomi Manajerial (4sks). Dari 4 mata kuliah yang diambil diperoleh nilai akhirnya adalah:

Ekonomi Mikro                                    : 80

Metode Kuantitatif Bisnis                  : 88

Statistik Ekonomi I                              : 78

Ekonomi Manajerial                            : 90

Hitunglah rata-rata hasil ujian dari mahasiswa tersebut?

Diketahui:   X₁ = 80, X₂ = 88, X₃ = 78, X₄ = 90

                       W₁ = 4,   W₂ = 4,  W₃ = 2,  W₄ = 4

Jawab:

 

Jadi, rata-rata ujian nilai mahasiswa tersebut = 84.67

2)      Median (Nilai Tengah)

   Adalah Segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau terbesar sampai terkecil adalah pengamatan yang tepat di tengah-tengah bila banyaknya pengamatan itu ganjil, atau rata-rata kedua pengamatan yang di tengah bila banyaknya pengamatan genap.

 

Ket:

Li = batas tepi kelas median

n = jumlah data

Σfi = jumlah sebelum kelas median

fm = frekuensi kelas median

C = Interval kelas

a)      Menentukan Median dari data yang dikelompokkan

 Contoh:

Diketahui,

 

Jawab:

-          Nilai median terletak pada data ke 30, yaitu di kelas yang ke III

-          Data ke 30 terletak pada urutan ke 15 pada kelas yang ke III

-          Nilai ke 15 tidak diketahui maka dicari dengan interpolasi

Jadi, Median = 0,7315 + (15/20).(0,004) = 0,7345

b)      Menentukan Median Dengan Cara Grafis

• Dengan menggunakan Ogive

             Contoh:

             Diketahui:

            

              

             

Jawab:

             PT : PQ           = ST : QR

             PT : 0,004        =  (50-25) : (58,33 -25)

             PT : 0,004        =   25 : 28,33

             PT = (25 x 0,004) / 28,33 = 0,003

• Dengan menggunakan Histogram

             Misalkan diketahui:

            

             Untuk mengetahui median dengan menggunakan Histogram, maka dirumuskan:

            

              Ket:

              LCB    = Lower Class Boundaries (batas tepi  bawah)

              L          = Luas total seluruh histogram

              Σfi       = Total frekuensi sebelum luasan histogramdimana median terletak

              C         = Interval

              Fm       = frekuensi kelas median

3)      Mode (Modus)

   Mode(modus) adalah data yang paling sering muncul atau terjadi. Untuk menentukan modus, pertama susun data dalam urutan meningkat atau sebaliknya, kemudian hitung frekuensinya. Nilai yang frekuensinya paling besar (sering muncul) adalah modus. Modus digunakan baik untuk tipe data numerik atau pun data kategoris. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem.

a)      Menentukan mode data yang tidak dikelompokkan dan data yang dikelompokkan

Untuk menentukan mode data yang tidak dikelompokkan dan data yang dikelompokkan, maka dapat di rumuskan:

 

Ket:

Li    = Batas tepi bawah kelas mode

Δ1  = Selisih antara frekuensi didalam kelas mode dengan frekuensi kelas yang mendahuluinya.

Δ2  = Selisih antara frekuensi kelas mode dengan frekuensi dari kelas berikutnya.

C   = Interval Kelas.

b)      Menentukan mode dengan cara grafik

Misalkan didalam soal diketahui,

 

Jawab:

OS1 + S1T1 = 0,7315 + S1T1

S1T1 = UT

UT : TV  = PS : QR

UT : TV  = (20-10) : (20-14) = 10 : 6

UT + TV = Interval = 0,004

UT = (10/16) x 0,004 = 0,0025

Mode = 0,7135 + 0,0025 = 0,7340

Daftar Pustaka:

• zaneta9bp2.blogspot.com/p/tendensi-sentral.html
• repositorybinus.ac.id/content/J0204/102448127.ppt
• statis.files.wordpress.com/2009/ukuran-pemusatan-data
• pengantarstatistika.Edisike-3.Ronald E.Walpole
• web.unair.ac.id/admin/file/f_20025_5e.ppt
• dapat juga dilihat disini