BAB III UKURAN TENDENSI SENTRAL

UKURAN TENDENSI SENTRAL (CENTRAL TENDENCY MEASUREMENT)

   Beberapa macam ukuran statistik digunakan untuk meringkaskan dan menjelaskan data. Sebagai suatu ukuran, statistik itu mendefinisikan, dalam pengertian tertentu, pusat segugus data dan oleh karena itu disebut ukuran lokasi pusat atau ukuran kecenderungan memusat atau ukuran pemusatan. Yang lain mengukur keragaman. Secara bersama, kedua ukuran statistik itu sangat berguna dalam menjelaskan sebaran pengamatan yang menyusun data kita.(Ronald E. Walpole).

   Sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau sebaliknya dari terbesar sampai terkecil, disebut Ukuran Lokasi Pusat atau Ukuran Pemusatan.

Ukuran pemusatan yang paling banyak digunakan adalah Mean, Median, dan Modus.

1)      Mean (Nilai rata-rata)

   Adalah merupakan salah satu ukuran untuk memberikan gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang sekumpulan data, dimana nilai rata-rata dibagi menjadi 4 yaitu:

a)      Nilai Rata-rata Hitung

   Adalah Nilai rata-rata yang banyak digunakan untuk membandingkan nilai dari suatu kelompok data dengan kelompok data yang lain. Nilai rata-rata hitung di bagi 2 yaitu:

• Nilai Rata-rata Hitung Data Tunggal

                Jika terdapat  n buah data yang terdiri dari

                 x₁, x₂, x₃, … x_n,

                 Rata-rata hitung data tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut.

                

                  Ket:

                  n = banyak data

                  Σxi = jumlah data (jumlah data ke-1 sampai dengan data  ke-n)

                  Contoh 1 :

                  Nilai ulangan matematika 5 siswa kelas X Akuntansi adalah 8, 5, 7, 10, dan 5. Rata-rata hitung nilai siswa tersebut adalah ….

                 

                  = 35/5 = 7

                  

Contoh 2:

                  Diketahui:

                 

                  

                    = 740/10 = 74

• Nilai Rata-rata Hitung Data Kelompok

Menentukan rata-rata hitung data berkelompok akan lebih mudah apabila data disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi.

Rata-rata hitung data tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut:

                                                

                   

                   Ket:

                   x_i  = Titik tengah

                      = ½ . (batas bawah + batas atas)

                   c_i  = Kode titik tengah

                   I   = Interval kelas = Panjang kelas

                        

                   x₀ = Titik tengah pada frekuensi terbesar

                   

Contoh 1:

                   Diketahui:

                  

                   

Contoh 2:

                   Diketahui:

                  

                    

Contoh 3:

                   Diketahui:

                  

                   Jawab :

                  

b)      Nilai Rata-Rata Ukur

   Adalah Nilai rata-rata untuk nilai yang memiliki kisaran yang besar. Dalam masalah bisnis dan ekonomi seringkali diperlukan data untuk mengetahui rata-rata persentasi tingkat perubahan sepanjang waktu.

Rata-rata hitung data tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut.

• Rata-rata Ukur Data Tunggal

             

Contoh 1:

             Hitunglah rata-rata ukur dari data berikut ini :

             10 ; 15 ; 16 ; 25

             Jawab:

            

             Atau

            

            

            U = 15,6508

           

Contoh 2:

   Wilayah Metropolitan diharapkan akan memperlihatkan laju kenaikan jumlah lapangan kerja yang tinggi antara tahun 2001 dan 2002. Jumlah lapangan kerja diharapkan meningkat dari 5.164.900 jiwa menjadi 6.286.800 jiwa berapa rata-rata ukur laju pertumbuhan kenaikkan tahunan yang diharapkan?

             Jawab:

            

           Diketahui : X₁ = 5.164.900, X₂ = 6.286.800, n = 2

              Log U = ½ (Log X₁ +Log X₂)

               = ½ (Log 5164900 + Log 6286800)

               = ½ (6.713 + 6.798)

               = 6.7555

               U = Antilog 6.7555 = 5695082.2

• Rata-rata Ukur Data Kelompok

              

Contoh:

              Diketahui:

             

               

Jawab:

              

               

              

                U = 1,0404

               Atau

              

              U = 1,0372

c)      Nilai Rata-Rata Harmonis

   Adalah Nilai yang diperoleh dengan jalan membagi (n) dengan jumlah kebalikan dari masing-masing (X). Dipergunakan untuk nilai yang harganya setiap saat selalu berubah & ditujukan pada data yang tidak dikelompokkan.

Rata-rata hitung data tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut.

     Atau

    

Contoh 1:

Jarak kota S ke kota M = 90 km. Seseorang dengan kendaraan berangkat dari kota S ke kota M dengan kecepatan 45 km/jam, kemudian kembali dari M ke S dengan kecepatan 60 km/jam. Hitunglah kecepatan rata-rata kendaraan orang tersebut.

Jawab:

Rata-rata Harmonis (H)

 

Berangkat = [90 km]/[45 km/jam] = 2 jam

Kembali = [90 km]/[60 km/jam] = 1,5 jam

Jadi, totalnya 3,5 jam

Contoh 2:

Seorang Pedagang Kaos di Bandung memperoleh hasil penjualan Rp 2.000.000/Minggu dengan rincian sebagai berikut :

Minggu 1 : Terjual 100 Kaos seharga Rp. 20.000/Kaos

Minggu 2 : Terjual  80 Kaos seharga Rp. 25.000/Kaos

Minggu 3 : Terjual 40 Kaos seharga Rp. 50.000/Kaos

Minggu 4 : Terjual 50 Kaos Seharga Rp. 40.000/Kaos

Berapakah Harga rata-rata kaos tersebut per-Kaosnya?

Jawab:

 

Jadi, rata-rata harmonis harga per kaos = Rp.29629.63

d)     Nilai Rata-Rata Tertimbang

   Banyak digunakan dalam dunia pendidikan dan suatu persoalan, masing-masing nilai mempunyai bobot atau timbangan tertentu.

Misalnya X₁ dengan timbangan W₁, X₂ dengan timbangan  W₂ dan seterusnya sampai X_n, dengan timbangan W_n.

 

Contoh:

   Seorang Mahasiswa dari jurusan Managemen U-Binus, Mengikuti ujian untuk mata kuliah Ekonomi Mikro(4sks), Metode Kuantitatif Bisnis (4sks), Statistik Ekonomi I (2sks), Ekonomi Manajerial (4sks). Dari 4 mata kuliah yang diambil diperoleh nilai akhirnya adalah:

Ekonomi Mikro                                    : 80

Metode Kuantitatif Bisnis                  : 88

Statistik Ekonomi I                              : 78

Ekonomi Manajerial                            : 90

Hitunglah rata-rata hasil ujian dari mahasiswa tersebut?

Diketahui:   X₁ = 80, X₂ = 88, X₃ = 78, X₄ = 90

                       W₁ = 4,   W₂ = 4,  W₃ = 2,  W₄ = 4

Jawab:

 

Jadi, rata-rata ujian nilai mahasiswa tersebut = 84.67

2)      Median (Nilai Tengah)

   Adalah Segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau terbesar sampai terkecil adalah pengamatan yang tepat di tengah-tengah bila banyaknya pengamatan itu ganjil, atau rata-rata kedua pengamatan yang di tengah bila banyaknya pengamatan genap.

 

Ket:

Li = batas tepi kelas median

n = jumlah data

Σfi = jumlah sebelum kelas median

fm = frekuensi kelas median

C = Interval kelas

a)      Menentukan Median dari data yang dikelompokkan

 Contoh:

Diketahui,

 

Jawab:

-          Nilai median terletak pada data ke 30, yaitu di kelas yang ke III

-          Data ke 30 terletak pada urutan ke 15 pada kelas yang ke III

-          Nilai ke 15 tidak diketahui maka dicari dengan interpolasi

Jadi, Median = 0,7315 + (15/20).(0,004) = 0,7345

b)      Menentukan Median Dengan Cara Grafis

• Dengan menggunakan Ogive

             Contoh:

             Diketahui:

            

              

             

Jawab:

             PT : PQ           = ST : QR

             PT : 0,004        =  (50-25) : (58,33 -25)

             PT : 0,004        =   25 : 28,33

             PT = (25 x 0,004) / 28,33 = 0,003

• Dengan menggunakan Histogram

             Misalkan diketahui:

            

             Untuk mengetahui median dengan menggunakan Histogram, maka dirumuskan:

            

              Ket:

              LCB    = Lower Class Boundaries (batas tepi  bawah)

              L          = Luas total seluruh histogram

              Σfi       = Total frekuensi sebelum luasan histogramdimana median terletak

              C         = Interval

              Fm       = frekuensi kelas median

3)      Mode (Modus)

   Mode(modus) adalah data yang paling sering muncul atau terjadi. Untuk menentukan modus, pertama susun data dalam urutan meningkat atau sebaliknya, kemudian hitung frekuensinya. Nilai yang frekuensinya paling besar (sering muncul) adalah modus. Modus digunakan baik untuk tipe data numerik atau pun data kategoris. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem.

a)      Menentukan mode data yang tidak dikelompokkan dan data yang dikelompokkan

Untuk menentukan mode data yang tidak dikelompokkan dan data yang dikelompokkan, maka dapat di rumuskan:

 

Ket:

Li    = Batas tepi bawah kelas mode

Δ1  = Selisih antara frekuensi didalam kelas mode dengan frekuensi kelas yang mendahuluinya.

Δ2  = Selisih antara frekuensi kelas mode dengan frekuensi dari kelas berikutnya.

C   = Interval Kelas.

b)      Menentukan mode dengan cara grafik

Misalkan didalam soal diketahui,

 

Jawab:

OS1 + S1T1 = 0,7315 + S1T1

S1T1 = UT

UT : TV  = PS : QR

UT : TV  = (20-10) : (20-14) = 10 : 6

UT + TV = Interval = 0,004

UT = (10/16) x 0,004 = 0,0025

Mode = 0,7135 + 0,0025 = 0,7340

Daftar Pustaka:

• zaneta9bp2.blogspot.com/p/tendensi-sentral.html
• repositorybinus.ac.id/content/J0204/102448127.ppt
• statis.files.wordpress.com/2009/ukuran-pemusatan-data
• pengantarstatistika.Edisike-3.Ronald E.Walpole
• web.unair.ac.id/admin/file/f_20025_5e.ppt
• dapat juga dilihat disini

Share on :

Tweet